Pembahasan Soal Un Matematika Teladan Dan Barisan Bilangan

.com - Pola dan Barisan Bilangan. Kumpulan model soal ujian nasional bidang study matematika wacana rujukan dan barisan bilangan untuk tingkat sekolah menengah pertama. Pembahasan soal UN Matematika wacana rujukan dan barisan bilangan ini terdiri dari beberapa model soal yang paling sering keluar dalam ujian nasional antara lain : memilih hasil dari penjumlahan suku suatu barisan, memilih suku ke-n pada suatu barisan geometri, memilih dua suku berikutnya pada suatu barisan, memilih suku ke-n barisan aritmetika, memilih jumlah n suku pertama barisan aritmetika. Pembahasan ini disusun menurut soal-soal ujian nasional tahun-tahun sebelumnya supaya murid mempunyai citra mengenai model soal rujukan dan barisan bilangan yang pernah keluar dalam ujian nasional.

Soal 1 : Pola dan Barisan

Rumus suku ke-n suatu barisan ialah U_n = 5n - 7. Nilai dari U₁ + U₅ ialah ....
A. 20
B. 18
C. 16
D. 6

Pembahasan :
Untuk mengetahui jumlah dari U₁ + U₅, kita sanggup memilih nilai dari masing-masing suku tersebut terlebih dahulu yaitu dengan cara mensubstitusikan nilai n sesuai dengan nomor sukunya.

Suku pertama :
⇒ U_n = 5n - 7
⇒ U₁ = 5(1) - 7
⇒ U₁ = 5 - 7
⇒ U₁ = -2

Suku kelima :
⇒ U_n = 5n - 7
⇒ U₅ = 5(5) - 7
⇒ U₅ = 25 - 7
⇒ U₅ = 18

Dengan demikian, kita peroleh :
⇒ U₁ + U₅ = -2 + 18
⇒ U₁ + U₅ = 16

Jawaban : C

Soal 2 : Menentukan Suku ke-n Barisan Geometri

Amoeba membela diri menjadi dua setiap 20 menit. Jika mula-mula terdapat 15 Amoeba, maka selama 2 jam banyak Amoeba menjadi ....
A. 2120
B. 1920
C. 960
D. 480

Pembahasan :
Amoeba membela diri menjadi dua setiap 20 menit. Itu artinya 1 amoeba akan terbelah jadi 2, dua amoeba akan terbelah jadi 4, empat amoeba akan terbelah jadi 8, delapan amoeba membelah menjadi 16 dan seterusnya sehingga terbentuk barisan sebagai berikut:
⇒ 2, 4, 8, 16, 32, ...

Dari rujukan barian di atas sanggup kita simpulkan bahwa proses pembelahan amoeba tersebut menghasilkan suatu barisan geometri yang mempunyai perbandingan antara dua suku berdekatan akan selalu sama. Perbandingan antara dua suku berdekatan ini ialah 2 (r = 4/2, 8/4, 16/8, dst).

Karena proses tersebut membentuk barisan geometri, maka kita sanggup memakai rumus barisan geometri untuk memilih jumlah amoeba sesudah 2 jam. Suku ke-n pada barisan geometri dihitung dengan rumus berikut:

Un = a . rn - 1

Keterangan :
Un = suku ke-n
a = suku awal
r = rasio

Pada soal disebutkan bahwa amoeba membelah setiap 20 menit. Itu artinya dalam 2 jam (120 menit), amoeba melaksanakan pembelahan sebanyak 6 kali.
⇒ Banyak pembelahan = 120/20
⇒ Banyak pembelahan = 6 kali

Karena sudah melaksanakan pembelahan sebanyak 6 kali, maka dalam barisan yang terbentuk suah ada tujuh suku barisan. Dengan demikian, jumlah amoeba selama 2 jam itu sama dengan suku ke-7 (n = 6 + 1).

Dari soal diketahui suku awalnya sama dengan 15 dan rasio = 2. Maka, menurut rumus suku ke-n barisan geometri, suku ke-7 barisan geometri tersebut adalah:
⇒ U₇ = a . r^{7 - 1}
⇒ U₇ = 15 . 2⁶
⇒ U₇ = 15 x 32
⇒ U₇ = 480

Jadi, dalam waktu 2 jam, banyak amoeba menjadi 480 amoeba.

Jawaban : D

Soal 3 : Menentukan Suku ke-n Barisan Aritmetika

Diketahui barisan bilangan 5, 11, 17, 23, 29, .... suku ke-50 ialah ....
A. 294
B. 299
C. 305
D. 1470

Pembahasan :
Pola bilangan :
⇒ Barisan : 5, 11, 17, 23, 29
⇒ Barisan : 5, (5 + 6), (11 + 6), (17 + 6), (23 + 6)
⇒ Beda barisan : b = 6

Dari pembagian terstruktur mengenai di atas sanggup disumpulkan bahwa barisan tersebut merupakan barisan aritmetika dengan suku awal 5 dan beda 6. Suku ke-n barisan aritmetika sanggup ditentukan dengan rumus berikut:

Un = a + (n - 1)b

Keterangan :
U_n = suku ke-n
a = suku pertama
b = beda

Berdasarkan rumus tersebut, maka suku ke-50 barisan itu adalah:
⇒ U₅₀ = a + (50 - 1)b
⇒ U₅₀ = a + 49b
⇒ U₅₀ = 5 + 49(6)
⇒ U₅₀ = 5 + 294
⇒ U₅₀ = 299

Jawaban : B

Soal 4 : Menentukan Jumlah n Suku Pertama Barisan Aritmetika

Dketahui suku ke-5 dan suku ke-8 barisan aritmatika masing-masing 16 dan 25. Jumlah 22 suku pertama ialah ....
A. 451
B. 781
C. 814
D. 902

Pembahasan :
Pada soal ke-3 kita sudah membahas rumus memilih suku ke-n pada barisan aritmetika. Dengan rumus tersebut dan data yang ada pada soal, maka akan dihasilkan dua persamaan sebagai berikut.

Suku ke-5 :
⇒ U₅ = a + (5 - 1)b
⇒ 16 = a + 4b
⇒ a = 16 - 4b .... (1)

Suku ke-8 :
⇒ U₈ = a + (8 - 1)b
⇒ 25 = a + 7b
⇒ a + 7b = 25 .... (2)

Selanjutnya kita tentukan nilai a dan b dengan memakai metode substitusi, eliminasi, atau metode campuran. Pada pembahasan ini, memakai metode substitusi.

Substitusi persamaan (1) ke persamaan (2) :
⇒ a + 7b = 25
⇒ 16 - 4b + 7b = 25
⇒ 16 + 3b = 25
⇒ 3b = 25 - 16
⇒ 3b = 9
⇒ b = 3

Substitusi nilai b = 3 ke salah satu persamaan :
⇒ a = 16 - 4b
⇒ a = 16 - 4(3)
⇒ a = 16 - 12
⇒ a = 4

Dari perhitungan tersebut kita sudah memperoleh nilai suku awal (a) dan beda (b) dari barisn aritmetika tersebut. Selanjutnya, jumlah 22 suku pertama sanggup dihitung dengan rumus berikut:

Sn = n/2 (a + Un)

Keterangan :
Sn = jumlah n suku pertama
a = suku pertama
Un = suku ke-n

Suku ke-22 :
⇒ U₂₂ = 4 + (22 - 1)3
⇒ U₂₂ = 4 + 63
⇒ U₂₂ = 67

Dengan demikian, jumlah 22 suku pertama adalah:
⇒ S₂₂ = 22/2 (4 + 67)
⇒ S₂₂ = 11 (71)
⇒ S₂₂ = 781

Jawaban : B

Soal 5 : Menentukan Suku ke-n Suatu Barisan

Dua suku berikutnya dari barisan 3, 4, 6, 9, .... ialah ....
A. 13, 18
B. 13, 17
C. 12, 26
D. 12, 15

Pembahasan :
Untuk memilih dua suku berikutnya dari barisan tersebut, kita harus melihat rujukan bilangannya. Untuk melihat polanya, kita sanggup membandingkan dua suku berdekatan atau melihat selisih antara dua suku berdekatan.

Pola bilangan :
⇒ Barisan = 3 , 4, 6, 9
⇒ Barisan = 3, (3 + 1), (4 + 2), (6 + 3)

Untuk lebih jelasnya mengenai rujukan bilangan yang ada pada barisan tersebut, perhatikan gambar di bawah ini!

Dari data di atas sanggup kita simpulkan bahwa rujukan bilangannya ialah selisih antara dua bilangan selalu bertambah satu dari selisih dua bilangan sebelumnya.

Dua suku berikutnya :
⇒ Barisan = 3, 4, 6, 9, (9 + 4), (13 + 5)
⇒ Barisan = 3, 4, 6, 9, 13, 18

Jadi, dua suku berikutnya ialah 13 dan 18.

Jawaban : A

Sumber http://hamilhamil1.blogspot.com/